2. Решение треугольников и много­угольников

       Задано:     

Найти:

Решение:

а, α.

b, c, F

b = a · ctgα;

c = a/sinα;

F = (a²/2)·ctgα

b, α.

a, c, F

a = b · tgα;

c = b/cosα;

F = (b²/2)·tgα

c, α.

a, b, F

a = c · sinα;

b = c · cosα;

F = (c²/2)·sinα·cosα = (c²/4)·sin2α

а, b.

α, β, c, F

tgα = a/b; α = 90° - β;

tgβ = b/a; β = 90° - α;

c =  = a/sinα = b/cosα;

F = ab/2

а, c.

α, β, b, F

sinα = a/c; α = 90° - β;

cosβ = a/c; β = 90° - α;

b =  = c·cosα = c·sinβ;

F = (a/2)=(1/2)·a·c·sinβ

Задано:

Найти:

Решение:

а, b, γ

c, α, β,F

c = 

sinα = a·sinγ/c; tgα = a·sinγ/(b-a·cosγ);

sinβ = b·sinγ/c; tgβ = b·sinγ/(a-b·cosγ);

F = a·b·sinγ/2

а, β, γ или a, α, β

b, c, F

α = 180° - (β + γ);

β = 180° - (α + γ);

γ = 180° - (α + β);

c = ;

b = asinβ/sinα = asinβ/sin(β+γ);

c = asinγ/sinα = asinγ/sin(β+γ);

F = a²·sinβ·sinγ/(2sinα) = a²/(2(ctgβ + ctgγ))

Задано:

Найти:

Решение:

а, b, α

β, γ, c,F

c = a·cosβ + b·cosα = a·sinγ/sinα = b·cosα ± ;

sinβ = b·sinα/a; cosβ = ±;

γ = 180° - (α + β);

F = a·b·sinγ/2 = b·c·sinα/2

Задано:

Найти:

Решение:

а, b, α

β, γ, c,F

n

C

R

r

F

 3 

 1.732R 

 3.464r 

0.577с

 2.000r 

0.289с

 0.500R 

0,433с²

 1,299R²

 5.196r²

4

1.414R

2.000r

0.707с

1.414r

0.500с

0.707R

1,000с²

2,000R²

4,000r²

5

1.176R

1.453r

0.851с

1.236r

0,688с

0.809R

1,721с²

2,378R²

3,633r²

6

1.000R

1.155r

1.000с

1.155r

0.866с

0.866R

2,598с²

2,598R²

3.464r²

7

0.868R

0.963r

1.152с

1.110r

1.038с

0.901R

3,635с²

2.736R²

3,371r²

8

0.765R

0.828r

1.307с

1.082r

1.207с

0.924R

4.828с²

2,828R²

3.314r²

9

0.684R

0.728r

1.462с

1.064r

1.374с

0.940R

6.182с²

2.893R²

3.276r²

10

0.618R

0.650r

1.618с

1.052r

1.539с

0,951R

7.694с²

2.939R²

3,249r²

11

0.564R

0.587r

1.775с

1.042r

1.703с

0.960R

9.364с²

2.974²

3.230r²

12

0.518R

0.536r

1.932с

1.035r

1.866с

0.966R

11.196с²

3.000R²

3.215r²

16

0.390R

0,398r

2.563с

1.020r

2.514с

0.981R

20,109с²

3.062R²

3.183r²

20

0.313R

0.317r

3.196с

1.013r

3.157с

0.988R

31.569с²

3.090R²

3,168r²

24

0.261R

0.263r

3.831с

1.009r

3.798с

0.991R

45.575с²

3,106R²

3,160r²

32

0.196R

0.197r

5.101с

1.005r

5.077с

0.995R

81.225с²

3,121R²

3.152r²

48

0.131R

0.131r

7.645с

1.002r

7.629с

0.998R

183,08с²

3,133R²

3,146r²

64

0.098R

0.098r

10.190с

1.001r

10.178с

0,999R

325.69с²

3,137R²

3,144r²